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title = "Lanzamientos de Monedas"
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date = 2025-07-28
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draft = true
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[taxonomies]
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t = ["Probabilidades", "Monedas", "Distribución Geométrica", "Distribución Binomial"]
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[extra]
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author = "Felipe"
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image = "img/placeholder.png"
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image_webp = "img/placeholder.webp"
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alt = ""
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Toda partida de cartas Pokémon inicia con un lanzamiento de moneda (o de dado en su
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reemplazo). Probablemente, todos sabemos que la probabilidad de que salga cualquiera
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de los resultado es $\frac{1}{2}$, suponiendo que la moneda o el dado no están
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trucados.
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Un sólo lanzamiento de moneda entonces no resulta muy interesante, pero hay efectos
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que requieren más de un lanzamiento, sobres los cuáles nos interesará preguntarnos
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ciertas cosas.
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# Lanza una moneda hasta que salga cruz
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{{ ptcg_card(id="beartic-blk-la", display=true) }}
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El primer de estos efectos es el del tipo *"Lanza 1 moneda hasta que salga cruz. Por
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cada cara, haz cierta cosa"*. En el caso del **Beartic** que se muestra arriba, se
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hace cierta cantidad de daño por cierta cara.
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La primera pregunta que responderemos será ¿cuál es la probabilidad de sacar
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exactamente $k$ caras? Como dejamos de lanzar monedas al obtener cruz, esto equivale
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a ¿cuál es la probabilidad de sacar $k$ caras seguidas por una cruz? Como solo hay
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una secuencia de resultados que nos interesa, solo debemos calcular cuántas
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secuencias posibles de resultados hay al lanzar $k + 1$ monedas (para obtener $k$
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caras y $1$ cruz) y usar la fórmula básica de las probabilidades
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$$\text{Probabilidad} = \frac{\text{Número de casos favorables}}{\text{Número de casos totales}}$$
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Para la primera moneda, tenemos dos opciones posibles. Para dos monedas, por cada una
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de las opciones de la primera moneda, tenemos dos opciones para la segunda. Así, cada
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vez que agregamos una moneda, se duplican la cantidad de secuencias. Por lo tanto, la
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cantidad de secuencias de $k + 1$ lanzamientos de monedas es $2^{k+1}$ y en
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consecuencia, la probabilidad de obtener $k$ caras es $\frac{1}{2^{k+1}}$.
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Ahora nos preguntamos, ¿cuál es el número promedio de caras que voy a obtener? Para
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ello, llamaremos $p_k$ a la probabilidad de obtener exactamente $k$ caras y
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calcularemos la siguiente suma
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$$S = 0\cdot p_0 + 1\cdot p_1 + 2\cdot p_2 + \dots + k\cdot p_k + (k+1)\cdot p_{k+1} + \dots$$
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Con el cálculo que habíamos hecho antes, sabemos que $p_k = \frac{1}{2^{k+1}}$, por
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lo que
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$$S = \frac{0}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \dots + \frac{k}{2^{k+1}} + \frac{k+1}{2^{k+2}} + \dots$$
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Si multiplicamos la por $2$, tenemos que
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$$
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\begin{aligned}
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2S &= 2\cdot\frac{1}{2^2} + 2\cdot\frac{2}{2^3} + \dots + 2\cdot\frac{k}{2^{k+1}} + 2\cdot\frac{k+1}{2^{k+2}} + \dots \\\\
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&= \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{k}{2^k} + \frac{k+1}{2^{k+1}} + \dots
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\end{aligned}
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$$
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Ahora, si restamos la última ecuación con la primera, tenemos que
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$$
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\begin{aligned}
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2S - S &= \left(\frac{1}{2} - \frac{0}{2}\right) + \left(\frac{2}{2^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{3}{2^3} - \frac{2}{2^3}\right) + \dots + \left(\frac{k+1}{2^{k+1}} - \frac{k}{2^{k+1}}\right) + \dots \\\\
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S &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^k} + \dots
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\end{aligned}
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$$
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De nuevo multiplicando por 2, tenemos que
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$$2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{k-1}} + \frac{1}{2^k} +
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\dots$$
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Y de nuevo, restando las últimas dos ecuaciones
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$$
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\begin{aligned}
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2S - S &= 1 + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2^k} - \frac{1}{2^k}\right) + \dots \\\\
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S &= 1
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\end{aligned}
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$$
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Por lo tanto, en promedio obtendremos una cara de este tipo de efectos. Volviendo al
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ejemplo de **Beartic**, haremos en promedio $50$ de daño con su primer ataque.
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# Lanza $n$ monedas
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{{ ptcg_card(id="stoutland-wht-la", display=true) }}u
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El segundo tipo de efectos que estudiaremos es *"Lanza $n$ monedas. Haz cierta acción
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por el número de caras"*. Al igual que antes, queremos saber cuál es la probabilidad
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de obtener exactamente $k$ caras de entre las $n$. De la sección anterior, sabemos
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que la cantidad total de posibilidades para $n$ lanzamientos de monedas es $2^n$. Por
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lo tanto, solo nos falta calcular de cuántas formas podemos obtener $k$ caras de
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entre $n$ lanzamientos. Esto es equivalente a elegir cuáles de los $n$ lanzamientos
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queremos que sean cara y dejamos que el resto sean cruz, por lo que nos interesa
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contar cuántos subconjuntos de tamaño $k$ de entre los $n$ lanzamientos existen.
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Antes de hacer ese conteo, primero resolveremos otro problema que nos ayudará en el
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problema original. Dada una lista de $n$ elementos, queremos contar de cuántas formas
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podemos ordenar esta lista. Para el primer elemento, tenemos $n$ opciones. Para el
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segundo, solo tenemos $n-1$ opciones, pues no podemos repetir el elemento que
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elegimos primero. Para el tercero, tenemos $n-2$ opciones, pues no podemos elegir
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ninguno de los dos primeros elementos. Repitiendo el argumento, llegamos hasta el
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último elemento de la lista, que solo tiene una opción, el elemento que no elegimos
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en las $n-1$ posiciones anteriores. Así, el total de formas de ordenar la lista es
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$$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot\dots\cdot2\cdot1$$
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Esta multiplicación tiene nombre y se conoce como el factorial de $n$ y se denota por
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$n!$.
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Volviendo a nuestro problema original, elijamos las $k$ posiciones en las cuales
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queremos que la moneda sea una cara. Para la primera posición, tenemos $n$ opciones.
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Para la segunda, $n-1$ opciones, y así, hasta la posición $k$, para la cual tenemos
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$n - (k - 1) = n - k + 1$ opciones. Sin embargo, en esta lista de posiciones para las
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caras, estamos considerando el orden, pero solo nos interesa el conjunto de
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posiciones, por lo que estamos contando cada opción muchas veces. ¿Cuántas veces?
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Precisamente, el número de formas de ordenar la lista de estas $k$ posiciones, que ya
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sabemos es $k!$. Por lo tanto, la cantidad de formas de obtener $k$ caras entre $n$
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lanzamientos es
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$$\frac{n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!},$$
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donde la última igualdad se obtiene agregando los factores de $(n-k)!$ arriba y abajo
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en la fracción. Este valor se conoce como coeficiente binomial[^1] y se denota por
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$\binom{n}{k}$.
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Finalmente, la probabilidad de obtener $k$ caras entre $n$ monedas es
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$$\frac{\binom{n}{k}}{2^k}$$
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Hagamos el ejercicio de calcular cuál es la probabilidad de recuperar $2$ cartas con
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el ataque de Stoutland. La probabilidad de sacar $2$ caras entre $3$ lanzamientos es
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$$\frac{\binom{3}{2}}{2^3} = \frac{\frac{3\cdot2}{2\cdot1}}{2^3} = \frac{3}{8}$$
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Sin embargo, también nos interesa obtener $3$ lanzamientos, puesto que salvo
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situaciones muy específicas, recuperar $3$ cartas también cubrirá los casos en los
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que queríamos recuperar 2, así que en verdad la pregunta que nos interesaba es la
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probabilidad de obtener *al menos* $2$ caras. La probabilidad de obtener las $3$
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caras es
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$$\frac{\binom{3}{3}}{2^3}=\frac{\frac{3!}{3!}}{8}=\frac{1}{8}$$
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Y por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos $2$ caras de entre $3$ es
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$$\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
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En general, no hay una fórmula cerrada para estas sumas de coeficientes binomiales,
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por lo que para resolver la pregunta de obtener al menos $k$ caras de entre $n$
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monedas se suelen usar calculadoras[^2].
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# Digger?
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{{ ptcg_card(id="digger-es", display=true) }}
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Ahora estudiaremos una carta que definitivamente trata sobre lanzar monedas: **Digger
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(Rocket's Secret Machine)**. La pregunta obvia es ¿cuál es la probabilidad de que los
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$10$ de daño terminen en mi Pokémon activo si yo jugué la carta? Notemos que se
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parece un poco al primer problema, pues se lanzan monedas hasta que salga cruz. Sin
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embargo, solo si la cruz sale en los lanzamientos impares (el primer lanzamiento, el
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tercer lanzamiento, etc) el daño se pondrá en mi Pokémon activo y solo si sale en los
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lanzamientos pares el daño se pondrá en el Pokémon del rival. Que salga cruz en los
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lanzamientos impares es equivalente a que salgan cantidades pares de caras ($0$
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caras, $2$ caras, etc), por lo que la probabilidad de que la carta haga daño al
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Pokémon propio es
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$$
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\begin{aligned}
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P &= p_0 + p_2 + p_4 + \dots p_{2k} + \dots \\\\
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&= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^5} + \dots \frac{1}{2^{2k+1}} \dots \\\\
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&= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \dots + \frac{1}{2^{2k}} + \dots \right) \\\\
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&= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{4^k} + \dots \right) \\\\
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|
\end{aligned}
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|
$$
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Multiplicando por $4$
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$$
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|
\begin{aligned}
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|
4P &= \frac{1}{2}\left(4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} \dots + \frac{1}{4^{k-1}} + \dots \right) \\\\
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|
\end{aligned}
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|
$$
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Restando las últimas dos ecuaciones
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|
$$
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\begin{aligned}
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4P - P &= \frac{1}{2}\left(4 + 1 - 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{4^k} - \frac{1}{4^k}+ \dots \right) \\\\
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3P &= \frac{1}{2}\cdot4 = 2\\\\
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|
\end{aligned}
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|
$$
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Y por lo tanto
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$$ P = \frac{2}{3} $$
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O sea, demostramos con números que no es una carta solo mala, sino que pésima.
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[^1]: [Coeficiente binomial en Wikipedia](https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial)
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[^2]: [Binomial Distribution Probability Calculator (en inglés)](https://stattrek.com/online-calculator/binomial)
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