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title = "Lanzamientos de Monedas"
date = 2025-07-28
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t = ["Probabilidades", "Monedas", "Distribución Geométrica", "Distribución Binomial"]
[extra]
author = "Felipe"
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Toda partida de cartas Pokémon inicia con un lanzamiento de moneda (o de dado en su
reemplazo). Probablemente, todos sabemos que la probabilidad de que salga cualquiera
de los resultado es $\frac{1}{2}$, suponiendo que la moneda o el dado no están
trucados.

Un sólo lanzamiento de moneda entonces no resulta muy interesante, pero hay efectos
que requieren más de un lanzamiento, sobres los cuáles nos interesará preguntarnos
ciertas cosas.

# Lanza una moneda hasta que salga cruz

{{ ptcg_card(id="beartic-blk-la", display=true) }}

El primer de estos efectos es el del tipo *"Lanza 1 moneda hasta que salga cruz. Por
cada cara, haz cierta cosa"*. En el caso del **Beartic** que se muestra arriba, se
hace cierta cantidad de daño por cierta cara.

La primera pregunta que responderemos será ¿cuál es la probabilidad de sacar
exactamente $k$ caras? Como dejamos de lanzar monedas al obtener cruz, esto equivale
a ¿cuál es la probabilidad de sacar $k$ caras seguidas por una cruz? Como solo hay
una secuencia de resultados que nos interesa, solo debemos calcular cuántas
secuencias posibles de resultados hay al lanzar $k + 1$ monedas (para obtener $k$
caras y $1$ cruz) y usar la fórmula básica de las probabilidades
$$\text{Probabilidad} = \frac{\text{Número de casos favorables}}{\text{Número de casos totales}}$$
Para la primera moneda, tenemos dos opciones posibles. Para dos monedas, por cada una
de las opciones de la primera moneda, tenemos dos opciones para la segunda. Así, cada
vez que agregamos una moneda, se duplican la cantidad de secuencias. Por lo tanto, la
cantidad de secuencias de $k + 1$ lanzamientos de monedas es $2^{k+1}$ y en
consecuencia, la probabilidad de obtener $k$ caras es $\frac{1}{2^{k+1}}$.

Ahora nos preguntamos, ¿cuál es el número promedio de caras que voy a obtener? Para
ello, llamaremos $p_k$ a la probabilidad de obtener exactamente $k$ caras y
calcularemos la siguiente suma
$$S = 0\cdot p_0 + 1\cdot p_1 + 2\cdot p_2 + \dots + k\cdot p_k + (k+1)\cdot p_{k+1} + \dots$$
Con el cálculo que habíamos hecho antes, sabemos que $p_k = \frac{1}{2^{k+1}}$, por
lo que 
$$S = \frac{0}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \dots + \frac{k}{2^{k+1}} + \frac{k+1}{2^{k+2}} + \dots$$
Si multiplicamos la por $2$, tenemos que
$$
\begin{aligned}
2S &= 2\cdot\frac{1}{2^2} + 2\cdot\frac{2}{2^3} + \dots + 2\cdot\frac{k}{2^{k+1}} + 2\cdot\frac{k+1}{2^{k+2}} + \dots \\\\
 &= \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{k}{2^k} + \frac{k+1}{2^{k+1}} + \dots
\end{aligned}
$$
Ahora, si restamos la última ecuación con la primera, tenemos que
$$
\begin{aligned}
2S - S &= \left(\frac{1}{2} - \frac{0}{2}\right) + \left(\frac{2}{2^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{3}{2^3} - \frac{2}{2^3}\right) + \dots + \left(\frac{k+1}{2^{k+1}} - \frac{k}{2^{k+1}}\right) + \dots \\\\
S &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^k} + \dots
\end{aligned}
$$
De nuevo multiplicando por 2, tenemos que
$$2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{k-1}} + \frac{1}{2^k} +
\dots$$
Y de nuevo, restando las últimas dos ecuaciones
$$
\begin{aligned}
2S - S &= 1 +  \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2^k} - \frac{1}{2^k}\right) + \dots \\\\
S &= 1
\end{aligned}
$$
Por lo tanto, en promedio obtendremos una cara de este tipo de efectos. Volviendo al
ejemplo de **Beartic**, haremos en promedio $50$ de daño con su primer ataque.

# Lanza $n$ monedas

{{ ptcg_card(id="stoutland-wht-la", display=true) }}u

El segundo tipo de efectos que estudiaremos es *"Lanza $n$ monedas. Haz cierta acción
por el número de caras"*.  Al igual que antes, queremos saber cuál es la probabilidad
de obtener exactamente $k$ caras de entre las $n$. De la sección anterior, sabemos
que la cantidad total de posibilidades para $n$ lanzamientos de monedas es $2^n$. Por
lo tanto, solo nos falta calcular de cuántas formas podemos obtener $k$ caras de
entre $n$ lanzamientos. Esto es equivalente a elegir cuáles de los $n$ lanzamientos
queremos que sean cara y dejamos que el resto sean cruz, por lo que nos interesa
contar cuántos subconjuntos de tamaño $k$ de entre los $n$ lanzamientos existen.

Antes de hacer ese conteo, primero resolveremos otro problema que nos ayudará en el
problema original. Dada una lista de $n$ elementos, queremos contar de cuántas formas
podemos ordenar esta lista. Para el primer elemento, tenemos $n$ opciones. Para el
segundo, solo tenemos $n-1$ opciones, pues no podemos repetir el elemento que
elegimos primero. Para el tercero, tenemos $n-2$ opciones, pues no podemos elegir
ninguno de los dos primeros elementos. Repitiendo el argumento, llegamos hasta el
último elemento de la lista, que solo tiene una opción, el elemento que no elegimos
en las $n-1$ posiciones anteriores. Así, el total de formas de ordenar la lista es
$$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot\dots\cdot2\cdot1$$
Esta multiplicación tiene nombre y se conoce como el factorial de $n$ y se denota por
$n!$.

Volviendo a nuestro problema original, elijamos las $k$ posiciones en las cuales
queremos que la moneda sea una cara. Para la primera posición, tenemos $n$ opciones.
Para la segunda, $n-1$ opciones, y así, hasta la posición $k$, para la cual tenemos
$n - (k - 1) = n - k + 1$ opciones. Sin embargo, en esta lista de posiciones para las
caras, estamos considerando el orden, pero solo nos interesa el conjunto de
posiciones, por lo que estamos contando cada opción muchas veces. ¿Cuántas veces?
Precisamente, el número de formas de ordenar la lista de estas $k$ posiciones, que ya
sabemos es $k!$. Por lo tanto, la cantidad de formas de obtener $k$ caras entre $n$
lanzamientos es
$$\frac{n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!},$$
donde la última igualdad se obtiene agregando los factores de $(n-k)!$ arriba y abajo
en la fracción. Este valor se conoce como coeficiente binomial[^1] y se denota por
$\binom{n}{k}$.

Finalmente, la probabilidad de obtener $k$ caras entre $n$ monedas es
$$\frac{\binom{n}{k}}{2^k}$$

Hagamos el ejercicio de calcular cuál es la probabilidad de recuperar $2$ cartas con
el ataque de Stoutland. La probabilidad de sacar $2$ caras entre $3$ lanzamientos es
$$\frac{\binom{3}{2}}{2^3} = \frac{\frac{3\cdot2}{2\cdot1}}{2^3} = \frac{3}{8}$$
Sin embargo, también nos interesa obtener $3$ lanzamientos, puesto que salvo
situaciones muy específicas, recuperar $3$ cartas también cubrirá los casos en los
que queríamos recuperar 2, así que en verdad la pregunta que nos interesaba es la
probabilidad de obtener *al menos* $2$ caras. La probabilidad de obtener las $3$
caras es
$$\frac{\binom{3}{3}}{2^3}=\frac{\frac{3!}{3!}}{8}=\frac{1}{8}$$
Y por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos $2$ caras de entre $3$ es
$$\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

En general, no hay una fórmula cerrada para estas sumas de coeficientes binomiales,
por lo que para resolver la pregunta de obtener al menos $k$ caras de entre $n$
monedas se suelen usar calculadoras[^2].

# Digger?

{{ ptcg_card(id="digger-es", display=true) }}

Ahora estudiaremos una carta que definitivamente trata sobre lanzar monedas: **Digger
(Rocket's Secret Machine)**. La pregunta obvia es ¿cuál es la probabilidad de que los
$10$ de daño terminen en mi Pokémon activo si yo jugué la carta? Notemos que se
parece un poco al primer problema, pues se lanzan monedas hasta que salga cruz. Sin
embargo, solo si la cruz sale en los lanzamientos impares (el primer lanzamiento, el
tercer lanzamiento, etc) el daño se pondrá en mi Pokémon activo y solo si sale en los
lanzamientos pares el daño se pondrá en el Pokémon del rival. Que salga cruz en los
lanzamientos impares es equivalente a que salgan cantidades pares de caras ($0$
caras, $2$ caras, etc), por lo que la probabilidad de que la carta haga daño al
Pokémon propio es
$$
\begin{aligned}
P &= p_0 + p_2 + p_4 + \dots p_{2k} + \dots \\\\
 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^5} + \dots \frac{1}{2^{2k+1}} \dots \\\\
 &= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \dots + \frac{1}{2^{2k}} + \dots \right) \\\\
 &= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{4^k} + \dots \right) \\\\
\end{aligned}
$$
Multiplicando por $4$
$$
\begin{aligned}
4P &= \frac{1}{2}\left(4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} \dots + \frac{1}{4^{k-1}} + \dots \right) \\\\
\end{aligned}
$$
Restando las últimas dos ecuaciones
$$
\begin{aligned}
4P - P &= \frac{1}{2}\left(4 + 1 - 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{4^k} - \frac{1}{4^k}+ \dots \right) \\\\
3P &= \frac{1}{2}\cdot4 = 2\\\\
\end{aligned}
$$
Y por lo tanto
$$ P = \frac{2}{3} $$
O sea, demostramos con números que no es una carta solo mala, sino que pésima.



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[^1]: [Coeficiente binomial en Wikipedia](https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial)
[^2]: [Binomial Distribution Probability Calculator (en inglés)](https://stattrek.com/online-calculator/binomial)