content/lanzamientos-de-monedas.md

@@ -0,0 +1,179 @@
++++
+title = "Lanzamientos de Monedas"
+date = 2025-07-28
+draft = true
+[taxonomies]
+t = ["Probabilidades", "Monedas", "Distribución Geométrica", "Distribución Binomial"]
+[extra]
+author = "Felipe"
+image = "img/placeholder.png"
+image_webp = "img/placeholder.webp"
+alt = ""
++++
+
+Toda partida de cartas Pokémon inicia con un lanzamiento de moneda (o de dado en su
+reemplazo). Probablemente, todos sabemos que la probabilidad de que salga cualquiera
+de los resultado es $\frac{1}{2}$, suponiendo que la moneda o el dado no están
+trucados.
+
+Un sólo lanzamiento de moneda entonces no resulta muy interesante, pero hay efectos
+que requieren más de un lanzamiento, sobres los cuáles nos interesará preguntarnos
+ciertas cosas.
+
+# Lanza una moneda hasta que salga cruz
+
+{{ ptcg_card(id="beartic-blk-la", display=true) }}
+
+El primer de estos efectos es el del tipo *"Lanza 1 moneda hasta que salga cruz. Por
+cada cara, haz cierta cosa"*. En el caso del **Beartic** que se muestra arriba, se
+hace cierta cantidad de daño por cierta cara.
+
+La primera pregunta que responderemos será ¿cuál es la probabilidad de sacar
+exactamente $k$ caras? Como dejamos de lanzar monedas al obtener cruz, esto equivale
+a ¿cuál es la probabilidad de sacar $k$ caras seguidas por una cruz? Como solo hay
+una secuencia de resultados que nos interesa, solo debemos calcular cuántas
+secuencias posibles de resultados hay al lanzar $k + 1$ monedas (para obtener $k$
+caras y $1$ cruz) y usar la fórmula básica de las probabilidades
+$$\text{Probabilidad} = \frac{\text{Número de casos favorables}}{\text{Número de casos totales}}$$
+Para la primera moneda, tenemos dos opciones posibles. Para dos monedas, por cada una
+de las opciones de la primera moneda, tenemos dos opciones para la segunda. Así, cada
+vez que agregamos una moneda, se duplican la cantidad de secuencias. Por lo tanto, la
+cantidad de secuencias de $k + 1$ lanzamientos de monedas es $2^{k+1}$ y en
+consecuencia, la probabilidad de obtener $k$ caras es $\frac{1}{2^{k+1}}$.
+
+Ahora nos preguntamos, ¿cuál es el número promedio de caras que voy a obtener? Para
+ello, llamaremos $p_k$ a la probabilidad de obtener exactamente $k$ caras y
+calcularemos la siguiente suma
+$$S = 0\cdot p_0 + 1\cdot p_1 + 2\cdot p_2 + \dots + k\cdot p_k + (k+1)\cdot p_{k+1} + \dots$$
+Con el cálculo que habíamos hecho antes, sabemos que $p_k = \frac{1}{2^{k+1}}$, por
+lo que 
+$$S = \frac{0}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \dots + \frac{k}{2^{k+1}} + \frac{k+1}{2^{k+2}} + \dots$$
+Si multiplicamos la por $2$, tenemos que
+$$
+\begin{aligned}
+2S &= 2\cdot\frac{1}{2^2} + 2\cdot\frac{2}{2^3} + \dots + 2\cdot\frac{k}{2^{k+1}} + 2\cdot\frac{k+1}{2^{k+2}} + \dots \\\\
+ &= \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{k}{2^k} + \frac{k+1}{2^{k+1}} + \dots
+\end{aligned}
+$$
+Ahora, si restamos la última ecuación con la primera, tenemos que
+$$
+\begin{aligned}
+2S - S &= \left(\frac{1}{2} - \frac{0}{2}\right) + \left(\frac{2}{2^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{3}{2^3} - \frac{2}{2^3}\right) + \dots + \left(\frac{k+1}{2^{k+1}} - \frac{k}{2^{k+1}}\right) + \dots \\\\
+S &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^k} + \dots
+\end{aligned}
+$$
+De nuevo multiplicando por 2, tenemos que
+$$2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{k-1}} + \frac{1}{2^k} +
+\dots$$
+Y de nuevo, restando las últimas dos ecuaciones
+$$
+\begin{aligned}
+2S - S &= 1 +  \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2^k} - \frac{1}{2^k}\right) + \dots \\\\
+S &= 1
+\end{aligned}
+$$
+Por lo tanto, en promedio obtendremos una cara de este tipo de efectos. Volviendo al
+ejemplo de **Beartic**, haremos en promedio $50$ de daño con su primer ataque.
+
+# Lanza $n$ monedas
+
+{{ ptcg_card(id="stoutland-wht-la", display=true) }}u
+
+El segundo tipo de efectos que estudiaremos es *"Lanza $n$ monedas. Haz cierta acción
+por el número de caras"*.  Al igual que antes, queremos saber cuál es la probabilidad
+de obtener exactamente $k$ caras de entre las $n$. De la sección anterior, sabemos
+que la cantidad total de posibilidades para $n$ lanzamientos de monedas es $2^n$. Por
+lo tanto, solo nos falta calcular de cuántas formas podemos obtener $k$ caras de
+entre $n$ lanzamientos. Esto es equivalente a elegir cuáles de los $n$ lanzamientos
+queremos que sean cara y dejamos que el resto sean cruz, por lo que nos interesa
+contar cuántos subconjuntos de tamaño $k$ de entre los $n$ lanzamientos existen.
+
+Antes de hacer ese conteo, primero resolveremos otro problema que nos ayudará en el
+problema original. Dada una lista de $n$ elementos, queremos contar de cuántas formas
+podemos ordenar esta lista. Para el primer elemento, tenemos $n$ opciones. Para el
+segundo, solo tenemos $n-1$ opciones, pues no podemos repetir el elemento que
+elegimos primero. Para el tercero, tenemos $n-2$ opciones, pues no podemos elegir
+ninguno de los dos primeros elementos. Repitiendo el argumento, llegamos hasta el
+último elemento de la lista, que solo tiene una opción, el elemento que no elegimos
+en las $n-1$ posiciones anteriores. Así, el total de formas de ordenar la lista es
+$$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot\dots\cdot2\cdot1$$
+Esta multiplicación tiene nombre y se conoce como el factorial de $n$ y se denota por
+$n!$.
+
+Volviendo a nuestro problema original, elijamos las $k$ posiciones en las cuales
+queremos que la moneda sea una cara. Para la primera posición, tenemos $n$ opciones.
+Para la segunda, $n-1$ opciones, y así, hasta la posición $k$, para la cual tenemos
+$n - (k - 1) = n - k + 1$ opciones. Sin embargo, en esta lista de posiciones para las
+caras, estamos considerando el orden, pero solo nos interesa el conjunto de
+posiciones, por lo que estamos contando cada opción muchas veces. ¿Cuántas veces?
+Precisamente, el número de formas de ordenar la lista de estas $k$ posiciones, que ya
+sabemos es $k!$. Por lo tanto, la cantidad de formas de obtener $k$ caras entre $n$
+lanzamientos es
+$$\frac{n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!},$$
+donde la última igualdad se obtiene agregando los factores de $(n-k)!$ arriba y abajo
+en la fracción. Este valor se conoce como coeficiente binomial[^1] y se denota por
+$\binom{n}{k}$.
+
+Finalmente, la probabilidad de obtener $k$ caras entre $n$ monedas es
+$$\frac{\binom{n}{k}}{2^k}$$
+
+Hagamos el ejercicio de calcular cuál es la probabilidad de recuperar $2$ cartas con
+el ataque de Stoutland. La probabilidad de sacar $2$ caras entre $3$ lanzamientos es
+$$\frac{\binom{3}{2}}{2^3} = \frac{\frac{3\cdot2}{2\cdot1}}{2^3} = \frac{3}{8}$$
+Sin embargo, también nos interesa obtener $3$ lanzamientos, puesto que salvo
+situaciones muy específicas, recuperar $3$ cartas también cubrirá los casos en los
+que queríamos recuperar 2, así que en verdad la pregunta que nos interesaba es la
+probabilidad de obtener *al menos* $2$ caras. La probabilidad de obtener las $3$
+caras es
+$$\frac{\binom{3}{3}}{2^3}=\frac{\frac{3!}{3!}}{8}=\frac{1}{8}$$
+Y por lo tanto, la probabilidad de obtener al menos $2$ caras de entre $3$ es
+$$\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
+
+En general, no hay una fórmula cerrada para estas sumas de coeficientes binomiales,
+por lo que para resolver la pregunta de obtener al menos $k$ caras de entre $n$
+monedas se suelen usar calculadoras[^2].
+
+# Digger?
+
+{{ ptcg_card(id="digger-es", display=true) }}
+
+Ahora estudiaremos una carta que definitivamente trata sobre lanzar monedas: **Digger
+(Rocket's Secret Machine)**. La pregunta obvia es ¿cuál es la probabilidad de que los
+$10$ de daño terminen en mi Pokémon activo si yo jugué la carta? Notemos que se
+parece un poco al primer problema, pues se lanzan monedas hasta que salga cruz. Sin
+embargo, solo si la cruz sale en los lanzamientos impares (el primer lanzamiento, el
+tercer lanzamiento, etc) el daño se pondrá en mi Pokémon activo y solo si sale en los
+lanzamientos pares el daño se pondrá en el Pokémon del rival. Que salga cruz en los
+lanzamientos impares es equivalente a que salgan cantidades pares de caras ($0$
+caras, $2$ caras, etc), por lo que la probabilidad de que la carta haga daño al
+Pokémon propio es
+$$
+\begin{aligned}
+P &= p_0 + p_2 + p_4 + \dots p_{2k} + \dots \\\\
+ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^5} + \dots \frac{1}{2^{2k+1}} \dots \\\\
+ &= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \dots + \frac{1}{2^{2k}} + \dots \right) \\\\
+ &= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{4^k} + \dots \right) \\\\
+\end{aligned}
+$$
+Multiplicando por $4$
+$$
+\begin{aligned}
+4P &= \frac{1}{2}\left(4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} \dots + \frac{1}{4^{k-1}} + \dots \right) \\\\
+\end{aligned}
+$$
+Restando las últimas dos ecuaciones
+$$
+\begin{aligned}
+4P - P &= \frac{1}{2}\left(4 + 1 - 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{4^k} - \frac{1}{4^k}+ \dots \right) \\\\
+3P &= \frac{1}{2}\cdot4 = 2\\\\
+\end{aligned}
+$$
+Y por lo tanto
+$$ P = \frac{2}{3} $$
+O sea, demostramos con números que no es una carta solo mala, sino que pésima.
+
+
+
+---
+[^1]: [Coeficiente binomial en Wikipedia](https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial)
+[^2]: [Binomial Distribution Probability Calculator (en inglés)](https://stattrek.com/online-calculator/binomial)

content/ptcg/cards/beartic-blk-la.toml

@@ -0,0 +1,12 @@
+name = "Beartic"
+kind = "pokemon"
+type = "stage1"
+hp = 150
+element = "[W]"
+attacks = [
+	{ cost = "[C]", name = "Cabezazo Continuo", damage = "50×", effect = "Lanza 1 moneda hasta que salga cruz. Este ataque hace 50 puntos de daño por cada cara." },
+	{ cost = "[W][W][W][C]", name = "Frío Extremo", damage = 150, effect = "Durante el próximo turno de tu rival, el Pokémon Defensor no puede usar ataques." },
+]
+weakness = "[M]×2"
+resistance = ""
+retreat = "[C][C][C]"

content/ptcg/cards/digger-es.toml

@@ -0,0 +1,4 @@
+name = "Digger (Rocket's Secret Machine)"
+kind = "trainer"
+type = "item"
+effect = "Lanza una moneda. Si sale cruz, haz 10 de daño a tu Pokémon Activo. Si sale cara, tu rival lanza una moneda. Si sale cruz, tu rival hace 10 de daño a su Pokémon Activo. Si sale cara, tú lanzas una moneda. Sigue haciendo esto hasta que un jugador obtenga cruz."

content/ptcg/cards/stoutland-wht-la.toml

@@ -0,0 +1,12 @@
+name = "Stoutland"
+kind = "pokemon"
+type = "stage2"
+hp = 160
+element = "[C]"
+attacks = [
+	{ cost = "[C]", name = "Rastreo", effect = "Lanza 3 monedas. Toma de tu pila de descartes una cantidad de cartas igual o inferior al número de caras que salieron y ponlas en tu mano." },
+	{ cost = "[C][C][C][C]", name = "Colmillo Especial", damage = "100+", effect = "Si este Pokémon tiene alguna Energía Especial unida, este ataque hace 100 puntos de daño más." },
+]
+weakness = "[F]×2"
+resistance = ""
+retreat = "[C][C][C]"

themes/lucky/sass/main.scss

@@ -867,3 +867,18 @@ code, .highlight {
   color: #00aeef;
   font-weight: 600;
 }
+
+.ptcg-deck .bottom,
+.ptcg-card .bottom {
+  font-weight: 600;
+  font-size: 0.8em;
+  margin-top: 1em;
+  padding: 0.1em 0.6em;
+  border-style: solid;
+  border-width: 2px;
+  border-color: $border-color;
+  border-radius: 6px;
+  display: flex;
+  justify-content: space-between;
+  gap: 0.2em
+}

themes/lucky/scripts/ptcgIcons.ts

@@ -30,6 +30,12 @@ function ptcg_icons(
 
 		const effects = deck.querySelectorAll('.effect')
 		elements.push(...effects);
+
+		const attack_effects = deck.querySelectorAll('.attack-effect')
+		elements.push(...attack_effects);
+
+		const bottoms = deck.querySelectorAll('.bottom')
+		elements.push(...bottoms);
 	});
 
 	const cards = document.querySelectorAll('.ptcg-card');
@@ -45,6 +51,13 @@ function ptcg_icons(
 
 		const effects = card.querySelectorAll('.effect')
 		elements.push(...effects);
+
+		const attack_effects = card.querySelectorAll('.attack-effect')
+		elements.push(...attack_effects);
+
+		const bottoms = card.querySelectorAll('.bottom')
+		elements.push(...bottoms);
+
 	});
 	elements.forEach(element => {
 		element.innerHTML = element.innerHTML.replace(regex, energy);

themes/lucky/static/ptcg-icons.js

@@ -22,6 +22,12 @@ function init() {
 
 		const effects = deck.querySelectorAll('.effect')
 		elements.push(...effects);
+
+		const attack_effects = deck.querySelectorAll('.attack-effect')
+		elements.push(...attack_effects);
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+		const bottoms = deck.querySelectorAll('.bottom')
+		elements.push(...bottoms);
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 	const cards = document.querySelectorAll('.ptcg-card');
@@ -37,6 +43,12 @@ function init() {
 
 		const effects = card.querySelectorAll('.effect')
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 		element.innerHTML = element.innerHTML.replace(regex, energy);